导数的拉氏变换

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拉氏变换与傅立叶变换

拉氏变换（Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，其符号为 L[f(t)] 。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有实数变数的函数转换为一个变数为复数 s 的函数：

∫_0^∞F(s)= f(t)e^{-st}dt

拉氏变换在大部份的应用中都是对射的，最常见的 f(t) 和 F(s) 组合常印制成表，方便查阅。拉氏变换和傅立叶变换有关，不过傅立叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加，属于「频域变换」；而拉氏变换则是将一个函数表示为许多矩的叠加，属于「时域变换」。拉氏变换的好处就是能够将复杂的积分与微分的问题，变换成比较容易计算的代数方法，为什么要进行变换？因为很多时候频域变换比时域变换直观得多。因此，拉氏变换较多被用于解决：

(1).常数系数的线性微分或积分方程式；

(2).分析线性非时变系统的输入输出信号。

实务上，拉氏变换在物理及工程上常用来分析线性非时变系统，可用来分析电子电路、谐振子、光学仪器及机械设备，在这些分析中，拉氏变换可以作时域和频域之间的转换，在时域中输入和输出都是时间的函数，在频域中输入和输出则是复变角频率的函数。

拉氏变换

在时域分析中，物理系统之动态方程式是以微分方程式来表示，在分析与设计上较为不便，若将其取拉氏变换后，改以「转移函数」来表示，则系统之输出与输入将只是代数关系，在数学处理较为简单且方便，也易于以图解法处理。

拉氏变换可以从「幂级数」的概念中推广出来，下面给出其推广过程。一个函数可以用幂级数的形式表出： A(x)=∑a_nx^n 。其实，这个序列可以看成是一个特殊的函数，即自变量只取整数的函数，那么我们将其推广为一般函数会有什么效果？将离散自变量 n 用连续自变量 t 代替，如果想用 t 取代 i，显然不能再用处理离散序列的方法进行求和，而是通过积分操作。令 A(x)=∫f(t)xtdt，而在微积分中我们常引入自然指数来方便运算，即 A(x)=∫f(t)x^tdt=∫f(t)(e^{lnx})^tdt 。

在这里，我们需要对x做一些限定，因为幂级数存在收敛半径的，对于一般的自然界中存在的实际函数（如信号）是不能发散到正无穷的，因此该函数有上界，而由于为了避免负的幂带来的困扰，我们要求 x>0。由于 0<x<1，而 lnx∈(?∞, 0)，也就是说，这样我们得到的变换的函数对其自变量的范围有所限制，为 x∈(0, 1)。这当然很不好看，因此我们做一个代换，令 s=-lnx，将 A(x) 用 F(x) 代替，因此原始变为： F(x)=∫f(t)e^{?st}dt, s∈(0,+∞) 。没错，这正是拉氏变换！原本我们变换后的函数本来是 F(x), x∈(0,1)，但是，这种形式很难看，在操作时也很麻烦，因此我们做了变换，得到了变换后的函数 F(s), s∈(0,+∞)，两个其实是一回事。将拉氏变换用符号 L 表示，记作：L[f(t)]=F(s)。

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